Гидродинамика и аэродинамика

из книги «Физика для школ и ВУЗов». Скачать бесплатно и без искажений формул на странице «Физика для школ и ВУЗов».

Хочешь помочь сайту?
Поделись страницей с друзьями и поставь лайк!

Гидродинамика и аэродинамика. Задачки

284. В стенке сосуда с водой просверлены одно над
другим два отверстия площадью S = 0,2 см2 каждое. Расстояние между отверстиями /7=50 см. В сосуд ежесекундно
вливается Q = 140 см® воды. Найти точку пересечения струй,
вытекающих из отверстий.
285. На гладкой поверхности стола стоит широкий сосуд
с водой. Уровень воды в сосуде Н, вес сосуда вместе с водой
Q. В .боковой стенке сосуда у дна имеется закрытое пробкой отверстие (с закругленными краями) площади S. При

61

каком значении коэффициента трения между дном и поверхностью стола сосуд придет в движение, если вынуть пробку?
286. При истечения струи жидкости из сосуда через отверстие площадью 5 0 сила, действующая на стенку с отверстием, на 2pS0 меньше силы,
действующей на лротивоположную стенку (см. задачу 285).
Если в отверстие вставить трубку, как показано на рис. 119,
то разность сил, действующих
на противоположные стенки,
станет равной примерно pS0, так
как благодаря трубке движения
жидкости у стенки не будет.
С другой стороны, изменение количества движения жидкости за единицу времени при истечении из сосуда всегда
равно 2pS, где S — площадь поперечного сечения струн.
Как согласовать между собой эти факты?
287. Струя воды, вытекающая из трубки диаметром
d—l см со скоростьюи= 1 м/с, ударяется о вертикальную
стенку. Определить действующую на стенку силу, ечитая,
«то трубка перпендикулярна стенке, и пренебрегая разбрызгиванием вода.
288. По изогнутой под прямым углом трубе поперечного сечения S со скоростью © течет газ. Плотность газа р.
С какой силой газ действует на трубу? Сжатием газа и тре-.
ниш пренебречь,
289. Найти силу, действующую на лонасть дажнебойного колеса (рис. 120), считая, что струя после удара о лопасть продолжает движение со скоростью лопасти. Высота
Рис. 121.
напора воды Ж, радиус колеса R, у гл овая скорость вращения
колеса ю и площадь поперечного сечения струя S ,

62

fc. Судно получило большую пробоину в подводной
(рис. 121). В какую сторону оно начнет перемещаться
этого?
■ 2Й . Из широкого сосуда через узкую трубку вытекает
‘ додкость (рис. 122). Как распределены по вертикали давлнм е я скорость жидкости в сосуде
— * » трубке?
V 292. Сосуд с водой, описанный в
яредцдущей задаче, подвешен на пру­
* « и н ы х весах. Нижний конец трубки
ЭМрьгг пробкой. Как изменятся позЁваяня весов в первый момент, когJ0 вынута пробка и началось вытекащщржвдкосги?
— ‘ Ш г одноб из чашек весов стоят сосуд с водой (рис. 123). Весы
уравновешены. Изменится ли равновесне, если открыть кран? (Вытекающая вода попадает на
ту же чашку весов, на которой стоит сосуд.)
. ; 294. На рис. 124 изображен гидравлический таран —
самодействующее водоподъемное устройство* Принцип его
Рис. 122.
работы основан на явлении гидравлического удара
в к возрастании давления
^ж идкости, текущей по
трубе, при ее внезапной
остановке, например при
закрытии клапана, выпускающего из трубы воду.
Труба длиной 7 = 2 м,
резРис. 123.
диаметром d=20 см опущена в ручей, скорость течения воды
в котором е—400 см/с. Пусть вначале клапан Кг открыт,
a Ki закрыт. Резкое увеличение давления заставляет клапан Kt открыться (клапан /Сгпри этом закрывается), и вода
устремляется вверх в сосуд А. Давление падает, клапан

63

Ki закрывается, а Я8 открывается. Вода в трубе приходит
в движение, и явление повторяется в прежней последовательности. Определить количество воды, поднимаемое тараном^ за час на высоту /г=30 м, если известно, что каждый
клапан открывается 30 раз в минуту.
295. Во время бурь, когда скорость ветра достигает
значительной величины, ветер срывает крыши построек
Наблюдаются два вида срыва крыш: 1) Если крыша прочнее
укреплена в точках А и В, чем в коньке С, то воздушный
поток как бы раскрывает крышу, ломая ее по линии конька (рис. 125, а). 2) Если крыша прочно укреплена в коньке
и менее прочно в точках Л и В, то воздушный поток сначала
приподнимает крышу-вверх, а потом уже относит в сторону
(рис. 125,J5). Как объяснить эти явления?
I
У
АЛ
Ш Ш Я !
а)
ш ш / ж и т
б)
Рис. 125. Рис. 126.
296. Почему легкий целлулоидный шарик, Помещенный
в сфуго воздуха или воды, вытекающую с большой скоростью
из трубки с узким отверстием,будет свободно парить в этой
струе (рис. 126)? . ^ !-
297. Демонстрационный прибор, изображенный на рйс.
127, состоит из двух дисков Л и В. В центре диска А имеется, отверстие, соединенное трубкой с баллоном сжатого воздуха. Диск В висит на трех стерженьках, вдоль которых он
может свободно перемещаться по вертикали. Если по трубке пропустить етрую сжатого воздуха, то нижний диск начнет стучать по верхнему. Объяснить причину этого явления.
‘ 298. В дне широкого сосуда имеется узкая труба, по квторой вода, заполняющая, сосуд, может из него вытекать

64

(рис. 128). Метлу сосудом и трубой помещена сетка. Если
легкий шарик погрузить на дно сосуда в момент, когда вода
из него вытекает, то шарик не всплывет. Если вытекание
воды из трубы прекратить, шарик немедленно всплывает.
Почему? (Этот опыт легко проделать в водопроводной раковине с мячиком от настольного тенниса.) •
299. Насос представляет собой расположенный горизонтально цилиндр с поршнем площади S и выходным отверстием площади s, расположенным у оси цилиндра. Определить скорость истечения струи из насоса, если поршень под
действием силы F перемещается с постоянной скоростью.
Плотность жидкости р.
300. В задаче 299 при s->S скорость v становится сколь
угодно большой даже при малой силе F. Объяснить, с чем
связано появление этого парадоксального результата.
301. Древнегреческие водяные часы (клепсидра) представляют собой сосуд с небольшим отверстием О (рис. 129).
Время отсчитывается по уровню, воды в* сосуде. Какова
j
Рис. 127, Рис. 128.
Рнс. 129. Рис. 130.
должна быть форма сосуда, чтобы шкала времени была равномерной? ~
3 Б . Б. Буховцев и др

65

302. Цилиндрический сосуд с жидкостью вращается с
угловой скоростью ш вокруг вертикальной оси (рис. 130).
Определить изменение давления в горизонтальном сечении
сосуда в зависимости от расстояния до оси вращения,
(Применить метод, изложенный при решении задачи 211.)
303. Найти форму поверхности жидкости в цилиндрическом сосуде, вращающемся с угловой скоростью и вокруг
вертикальной оси (т. е. найти высоту уровня жидкости в
зависимости от расстояния до оси вращения).
304. Почему после размешивания чая ложкой чаинки
собираются в середине стакана?

66

Гидродинамика и аэродинамика. Ответочки

284. Обозначим через А расстояние от уровня воды до верхнего
отверстия, через х —искомое расстояние от сосуда до точки пересечения струй по горизонтали и через у —расстояние от уровня вода
в сосуде до той же точки (рис. 392). Точка пересечения струй будет
оставаться на одном месте, если уровень воды в сосуде не изменяется.
Д ля этого необходимо, чтобы <£=&%+,&%, где у4= ]f2gk и % =
= У 2g ( f f + к) —скорости истечения струй из отверстий.
На основании законов кинематики
x = v 1t 1 = t>2t 2, у = h+ gt\t2 = А + Я + gtl/2,
где t t и — времена «падения» воды от отверстий до точки пересечения струй. Отсюда ‘
28S. Скорость истечения воды из отверстия и= V~2gA. Им п д Г&ьс
С аш , девствующей ео стороны сосуда на вытекающую воду, Л У =
= A/ner где 6 m = p S u A t —масса веда, вытекающая за время h i.
Сяетваяедъяву F ~ p t^ S —2^ghS. Давление у дна p = p g ft, н поэтому
F = 2pS. Такая же сила действует со етароаыструи « с о с у д . Таким
образом, вода действует на стеш у с отверстием с силой на 2p S
меньшей, чем на противоположную, а не на pS, как могло бы доказаться на первый взгляд. Это связана с уменьшением давления на
стенку с отверстием вследствие большей скорости течения воды у
этой стенки. Сосуд придет в движение, если kQ < 2pS, или
к < 2pgbSfQ~
288. По второму закону Ньютона обязательно должно иметь
место равенство ^ = 2 p S . Следовательно, ври истечении жидкости
череэ трубку площадь юшеречного сечения c rp j» должна уменьшиться а даа раза: S = S e/2. Эго сжатие струи объясняется следующим образом. Крайние струйки жидкости, подходящие к трубке

264

сверху, не могут вследствие инерции обогнуть край трубки, вплотную прилегая к стенкам, я -стремятся к центру струи. Под давлением частиц, идущих ближе к центру струи, линии тока выпрямляются, и су-жеиная струя жидкости течет вдоль трубки.
287. Пренебрегая разбрызгиванием воды, мы тем самым считаем
удар струи о стейку абсолютно неулругим. По второму закону
Ньютона изменение количества движения воды за время At равно
Am v— F At, где Am —p{nd2/4 )vA t — масса воды, протекшаяза время
At через поперечное сечение трубки. Отсюда F==(pwd2/4) о2«0,08 Н.
288. При движении газа по трубе (рис. 393) количество движения не меняется по величине, но меняется по направлению. За единицу времени через поперечное сечение I вертикального колена трубы
проходит масса р5у, которая приносит с собой количество движения
pl =pStiv1, где Vj — вектор скорости
течения газа в вертикальном колене,
численно равный заданной скорости
V. За то же время через сечение I I
уносится количество движения р2 =
= pStiva, где v8—вектор скорости в
горизонтальном колене, также численно равный V.
Изменение количества движения
равно импульсу силы F, действующей
со стороны трубы на газ: F
= рSv (v2— vx). По величине сила F =
= pSu5 По третьему закону Ньютона с той же сяиой газ действует на
трубу. Эта сила направлена * сторону, противоположную изгибу
тРУба. — _ . л —‘ ;
‘ 289. Начальная, скорость вода относительно лопасти о — y 2 g A —
—a>R. Поэтому за единицу времени о лопасть ударяет масса воды
/я = pS ( У 2gh—&R). Скорость воды относительно лопасти лосле
удара равна О, поэтому изменение количества движения воды за’
единицу времени равно то. По второму закону Ньютона
F = p S ( J ^ — ю ^ г ) , . .
ЯЮ. В ве^жый мсветт судне начнет «вигаться влраво, так как
давление * а врякЛ -борг уменьшаете* ва яелячяну 2pS, где р-Д ав-
— лейте т глубвве вробвины A, a S —ее площадь (см. задачу 285).
После того, *ак -струя воды достигнет противоположной стенки, на
эту стеяку начнет действовать сила F = pSo2, где о— скорость струи
относительно судна (см. задачу 287). F несколько больше 2pS, так
как о > У 2gh из-за того, что судно движется навстречу струе.
В результате движение начнет замедляться.
291. Скорость течения жидкости в трубке постоянна по всему
г и д » в силу малой сжимаемости жидкости и неразрывности струи.
Эта оюрость равна t>= VigH . Скорость жидкости в сосуда очень
иял» ■ практически равна нулю, так как площадь сосуда во много
раз больше площади сечения трубки- Следовательно, на границе
сосуд—трубка должен быть скачок давления, который мы обозначим
через p i — рг. Работа сил давления вызывает изменение скорости от

265

нуля до У 2gH. На основании закона сохранения энергии
Ат иа/2 = (p i— р2) S Ah, 1
где S — площадь сечения трубки, Ah—высота малого элемента жидкости и Ат = pS Ah—масса этого элемента. Следовательно, ру2/2 =
= Pi— Pi = PgH.
Из-за постоянства скорости течения давление в трубке меняется
по закону р = рв — рg (h —х), как и в неподвижной жидкости. р0 —
атмосферное давление, а х — расстояние, отсчитываемое от верхнего
Рис. 394.
конца трубки. Изменение давления по высоте изображено на
рис. 394. По оси ординат отложено давление, по оси абсцисс— расстояние от поверхности жидкости в сосуде.
292. Вытекающая из трубки вода за малый промежуток времени
At унесёт с собой количество движения A p ~ p S v2 At, где v= |/~2gH —
скорость вытекающей струи (см. задачу 291). По второму закону
Ньютона F At = 2pgHS At. Такая же сила будет действовать со стороны вытекающей струи на сосуд с водой. Следовательно, в начальный момент показание весов уменьшается на 2pgHS.
293. В первый момент, пока струя еще не достигла чашки, равновесие нарушится. Чашка качнется вверх, так как вытекшая из
сосуда вода перестанет оказывать давление на дно сосуда. Однако
после того, как струя Достигнет чашки, равновесие восстановится.
Рассмотрим элемент струи массы Ат. Падая на чашку, он сообщает
ей в вертикальном направлении импульс Am V2gk, где А— высота
* крана над чашкой. С другой стороны, этот элемент, покинув сосуд,
перестанет оказывать давление на его дно и на чашку в течение
времени падения t — У 2hjg. Это эквивалентно появлению импульса
силы, действующего на сосуд вертикально ввёрх во время падения
элемента жидкости. Среднее за время падения значение этого импульса равно
‘ Amg У 2h/g = Am V2gh.
. ‘ ‘ ■ V ,
Таким образом, с каждым элементом жидкости Ат связано в
среднем за время падения появление двух равных и противоположно
направленных импульсов силы. Так как струя течет непрерывно,
весы будут находиться в равновесии. В момент, когда струя прекращается, чашка качнется вниз, так как последние элементы, жидкости, падая на чашку, действуют на нее с силой, превышающей их
вес, а уменьшение давления на дно сосуда прекратится.

266

294. На основании закона сохранения энергии можно НаписатьMti*J2=mgh, где М — масса воды, останавливающейся в трубе при
закрытии клапана К 2, т —масса воды, поднявшейся при этом на
высоту h. Отсюда рVQgh, где У0—объем массы т. За
2 с в среднем поднимается объем V0 — huPv*/8gh — 1,7-Ю-* м3. За
час работы тарана поднимется 1,7-1 0 -8-30-60fa 3 м3.
‘ 296. Давление в обтекающем крышу воздушном потоке меньше,
Чем в покоящемся воздухе. Это избыточное давление неподвижного
воздуха под крышей и вызывает описанные явления.
296. За счет большой скорости течения газа в струе давление
внутри струи меньше- атмосферного» Снизу шарик будет поддерживаться напором струи, а с боков — статическим атмосферным давлением.
. 297. При течении воздуха между дисками скорость его убывает
по мере приближения к краям дисков. У краев она минимальна.,
Давление в струе газа тем меньше, чем больше его скорость. Поэтому
давление между дисками меньше атмосферного. Атмосферное давление прижимает нижнюю пластинку к верхней, и течение газа прекращаётся. После этого статическое давление газа снова отодвигает
пластинку, и процесс повторяется.
298. В потоке текущей жидкости давление уменьшается с увеличением скорости течения. Скорость течения воды в сосуде значительно меньше скорости течения в трубе, и, следовательно, давление
воды в сосуде больше, чем в трубе. На границе сосуд—труба скорость течения увеличивается, а давление уменьшается; вследствие
этого шарик, помещенный на сетку, оказывается прижатым к ней и
не всплывает.
299. За промежуток времени т поршень -переместится на расстояние их (рис. 395). При этом сила F совершит работу A = Fux.
Масса жидкости, вытекающей за время т, равна pSux. Скорость
истечения жидкости о определится из соотношения Su — sv. Изменение кинетической энергии жидкости за время т равно
‘ p S u x ( v 2/2 — u2/2). —
Это изменение энергии должно равняться работе силы F:
, , Fux ~ р$их (»а/2 —и2/?)-
2F 1
Исключая отсюда и, находим о2 = ^ __ si/S ‘i ‘ ^ сли s то
v = Y 2F/Sp.
300. При решении задачи 299 мы считали, что; скорость любого
элемента жидкости, находящегося в насосе, постоянна. Изменение

257

скорости от и до v происходит нри выходе жидкости из насоса . Однако
это имеет место не сразу после того, как сила начнет действовать
на поршень. Необходимо некоторое время, за которое процесс устанавливается, т. е. частицы жидкости в цилиндре приобретают постоянную скорость. При s —> S это время стремится к бесконечности,
и ‘поэтому скорость, приобретаемая жидкостью под действием постоянной силы, оказывается бесконечно большой.
301. Введем систему координат, изображенную на рис. 396.
Скорость истечения жидкости по формуле Торричелли V = V 2gy, где
у —толщина слоя воды в верхнем,, сосуде. Вследствие несжимаемости
воды sV = Sv, где v —скорость опускания верхнего уровня воды,
S —его площадь, a s — площадь отверстия. Если принять, что сосуд
имеет осевую симметрию, то S = nx2, где х —горизонтальная координата стенки сосуда. Следовательно, яд:2/ У 2 g y= s/v = const, так как
по условию уровень воды должен опускаться с постоянной скоростью.
Отсюда форма сосуда определяется уравнением у = kxi, где k =
= n 2v2/2gs2.
302. В горизонтальном сечении давление в зависимости от расстояния г до оси изменяется по закону р = р0-\-(ра>2/2) г% где р0 —
давление на оси сосуда, а р —плотность жидкости. Деформация
сжатия жидкости будет наибольшей у стенок сосуда, в то время как
деформация растяжения вращающегося стержня (задача 211) максимальна у оси.
303. На расстоянии г от оси вращения избыточное давление
р = (рш2/2) гг (см. решение задачи 302). С другой стороны, это давление определяется превышением уровня жидкости в данном участке
по сравнению с уровнем на оси: p — pgh (рис. 397). Приравнивая
эти выражения, имеем h ~ (u i2/2g) г2. Это — уравнение параболы.
Соответственно поверхность жидкости во вращающемся сосуде принимает форму параболоида вращения. г
304. Размешивание придает частицам воды в стакане некоторую
угловую скорость to. Распределение давлений в жидкости будет примерно таким, какое получено в решении задачи 302. Избыточное
давление внутри жидкости уравновешивает давление, вызванное превышением уровня жидкости у краев стакана (см. задачу 303). После
того, как размешивание прекращено, вследствие трения о дно скорость вращения жидкости у дна начнет уменьшаться, причем тем
значительнее, чем дальше элемент жидкости находится от оси. Теперь

258

уже избыточное’* давление, вызванное вращением, не уравновесит вес
столба жидкости у краев сосуда. Вследствие этого возникнет циркуляция жидкости, изображенная схематически на рис. 398. Поэтому
чаинки собираются в центре дна стакана.

259

Гидродинамика, аэродинамика #физика

Пытливый ум — Хочу Всё Знать! Дача, огород, лайфхаки, хендмейд, знания, учёба