Закон всемирного тяготения

из книги «Физика для школ и ВУЗов». Скачать бесплатно и без искажений формул на странице «Физика для школ и ВУЗов».

Хочешь помочь сайту?
Поделись страницей с друзьями и поставь лайк!

Закон всемирного тяготения. Задачки

228. Почему Земля сообщает всем телам одно и то же
ускорение независимо от их массы?
229. Найти величину и размерность в системе СГС
гравитационной постоянной, принимая во внимание,
что средний радиус Земли /?=6,4* 108 см, а масса Земли
М =6-10” г.
230. При каких условиях тела внутри космического корабля будут находиться в так называемом состоянии невесомости, т. е. перестанут оказывать давление на стенки кабины корабля? ‘
231. Легкий маятник, состоящий йз стержня и диска
(рис. 98), укреплен на деревянной рамке, которая может
свободно падать вдоль направляющих проволок. Маятник отклонили от положения
равновесия на угол а и отпустили. В момент, когда маятник проходил крайнее
нижнее положение, рамку перестали удерживать, и она начала свободно падать. Как
будет двигаться маятник относительно рамки? Трением и сопротивлением воздуха
пренебречь.
232. Планета движется по эллипсу, в
фокусе которого расположено Солнце. При- .
нимая во внимание работу силы тяготения,
Рис. 98. указать, в какой точке траектории скорость планеты будет максимальной и в какой — минимальной?
233. Искусственный спутник Земли движется на высоте
А—670 км пО круговой орбите. Найти скорость движения
спутника. …
234. КаК изменяется со временем скорость искусственного спутника Земли при движении его в верхних слоях
атмосферы? —
235. По круговой орбите на небольшом расстоянии друг
от друга в одном направлении движутся два спутника.
С первого спутника на второй нужно перебросить контейнер. В каком случае контейнер быстрее достигнет
второго спутника: если его бросить по движению первого саутника или против движения? Скорость контейнера относительно спутника и много меньше скорости спутника о,

52

236. Оценить массу Солнца М, зная, что средний радиус орбиты Земли /?=149-10* км.
237. Определить минимальное удаление h от поверхности
Земли первого искусственного спутника, запущенного в
СССР 4 октября 1957 г., если известны следующие данные:
максимальное удаление спутника от поверхности Земли
# = 9 0 0 км; период обращения спутника вокруг Земли
Т —96 мин; большая полуось лунной орбиты R=384 400 км;
период движения Луны вокруг Земли Т —27,Ъ суток и радиус Земли jRv=6370 км.
238. В воде имеется пузырек воздуха радиуса г и железный шарик того же радиуса. БуДут ли они притягиваться
•другк другу или отталкиваться? Какова величина силы
взаимодействия между ними? Расстояние между центрами
шарика и пузырька равно R.
239. В воде имеется-два йузырька воздуха радиуса г.
Притягиваются или отталкиваются пузырьки? Какова
величина силы взаимодействия? Расстояние между пузырьками R.
240. Свинцовый шар радиуса # = 5 0 см имеет внутри
сферическую полость радиуса г= 5 см, центр которой находится на расстоянии d=4Q см от центра шара (рис. 99).
С какой силой будет притягиваться к шару материальная
точка массы >п^ 10 г, находящаяся на расстоянии /=&0 см
от центра шара, если линиям соединяющая центры шара и
полости, составляет угон а =60° с линией, соединяющей
центр шара с материальной точкой?-
241. Тело, размерами которого можно пренебречь, помещено внутрь тонкой однородной сферы. Доказать, что
сила притяжения. действующая со стОрОны сферы на тело,
равна нулю при любом положения тела внутри сферы.

53

242, С какой силой притягивается к центру Земли тело
массы т, находящееся в глубокой шахте, если расстояние
от тела до центра Земли равно г? Плотность Земли считать
всюду одинаковой и. равной р.

54

Закон всемирного тяготения. Ответики

228. По второму закону Ньютона m^g — F, где /к,-— инертная
масса, т. е. величина, характеризующая способность тел приобретать
-то или иное ускорение под влиянием определенной силы. С другой
стороны, по закону всемирного тяготения F = ym gMg/R 2, где коэффициент пропорциональности у —так называемая гравитационная
постоянная, a mg и M g —гравитационные массы взаимодействующих
тел. Гравитационная масса определяет силу гравитационного притяжения и . в этом смысле может быть названа «гравитационным зарядом».
Заранее не очевидно, что m.i — ms . Однако лишь при выполнении
этого равенства (достаточно и пропорциональности) ускорение свобод
ного падения одинаково для всех тел, так как при подстановке силы
тяготения ро второй закон Ньютона массы ш,- и mg можно сократить,
и g = yM /R 2. Только сила тяготения сообщает всем телам одинаковые ускорения, не зависящие от их масс.
229. Ускорение. g — yM /R3 (см. задачу 228). Принимая g =
=9,81 м/с2, найдем у = 6,67-10- 11 м3/кг-с2. :
230. Тела внутри космического корабля перестанут оказывать
давление на его стенки, если они будут иметь такое же ускорение
как и корабль. Одинаковое ускорение в аанном участке простран

241

ства всем телам независимо от их массы может сообщить только
сила тяготения. Следовательно, необходима, чтйбы двигатель корабля
бил выключен а «тротивлекле внешней среды отсутствовало. Движение же корабля может происходить в любой направлении по
отношению к направлению сил тяготения.
231. Сила тяжести сообщает одинаковое ускорение маятнику и
рамке. Никаких деформаций за счет тяготения при свободном падении в системе не возникает. Поэтому относительно рамки маятник
будет двигаться так, как если бы тяготения не было (см, решение
задачи 230). Он будет вращаться с постоянной угловой скоростью
до тех пор, пока длится падение рамки.
232. На участке ВСА (рис.’376) сила тяготения совершает положительную роботу (угол -0! острый) и, следовательно, скорость
планеты возрастает. В точке А скорость достигает своего максимального значения. На участке ADB сила тяготения совершает отрицательную работу (угол 02 тупой), и, следовательно, при движении по
этому участку скорость планеты убывает, достигая минимального
значения в точке В.
233. Чтобы спутник двигался по замкнутой орбите (окружности
радиуса R-j- h), на него должна девствовать сила, направленная
к центру. Этой силой в данном случае является сила притяжения
Земли. По второму закону Ньютона ~
mv2/(R + ft) = ymM/(R+ A)2,
где M —масса Земли, R = 6370 км— радиус земного шара, 7 —гравитационная постоянная. На поверхности Земля утМ/Мг = mg. Следовательно, v = V g R 2/(R -f-h) я 7,5 км/с. : ’ ,
.234. Под влиянием сопротивления атмосферы спутник постепенно
с течением времени приближается к Земле. Радиус его орбиты уменьшается. Так как в верхних слоях сопротивление мало, то за один
оборот это уменьшение радиуса незначительно. Считая орбиту приближенно круговой, можно записать ‘
mzfl/R ^ y m M /R * ,
где R -г радиус орбиты. Отсюда и — ]/~уМЩ, т. е. скорость спутника
возрастает при уменьшении R. Наглядно этот результат можно
пояснят следующим образом. Вследствие сопротивления атмосферы
движение спутника, выведенною, например, на круговую орбиту

242

(пунктир на рис. 377), будет в действительности происходить по некоторой спивали (сплошная линяя на рис. 377). Поэтому проекция
F силы тяготения на направление скорости спутника v отлична от
нуля. Работа силы F (сила F больше; силы сопротивления атмосферы f) к ври водят к увеличению скорости.
При движении в атмосфере полная механическая энергия спутника уменьшается, но потенциальная энергия при приближении
к Земле убывает быстрее, чей полная. За счет этого кинетическая
энергию растет. Следует подчеркнуть, что в плотных слоях атмосферы из-за большой величины силы сопротивления мы не можем
даже приближенна рассматривать движение спутника как вращение
по «жружности, а наш: вывод несправедлив.
235. Если бросить контейнер против движения спутника А, то
он намнет двигаться та некоторому эллипсу 2, раеноложенному
внутри орбиты спутника (ряс. 378). Период обращения контейнера
будет немного меньше периода обращения спутника В. Поэтому они
могут встретиться в точке соарикосновейия орбит только после совершения большого числа оборотов.
Кентайнер нужно бросить в направлении движения спутника А.
О» начнет двигаться по эллнясу 3. Скорость ч нужно подобрать
так, чтобы а* время адного. оборота контейнера спутник В также
сделал один оборот и щпштняыеьив нрошел путь AS. Это вшлне
возможно» так как период обращения по эллипсу 3> несколько больше
периода обращения по круговой орбите I. Контейнер встретится со
спутником в точке соприкосновения орбит 3 и /.
23в. Считая приближенно орбиту Земли круговой, для силы
тяготения можно записать выражение F — rru.о*£, где т. — масса
Земли, а ш = 2л/Т — угловая скорость Земли (Т — 365 дней). С крутой стороны, согласно закону тяготения F= ym M /R 2, где М —масса
Солнца. Отсюда ■
ymMjR2 = mu>lR, или M = a>2R2fy и 2 -1030 кг.
237. Поскольку как Луна, так и спутник движутся в поле тяжести Земли, применим третий закон Кеплера: »
T \jT \ = ( h + tf + 2tf„)3/8tf?
(ряс, 379). Отсюда А= 2R(T1lTif /> — Н — Ж * = Ш ш ,

243

238. Так как масса шарика больше массы воды в том же объеме,
то поле тяготения больше вблизи шарика, чем вдали от него. Соответственно вода возле шарика дополнительно сжата. Сила давления
жидкости, действующая на пузырек слева, будет несколько меньше,
чем сила, действующая справа. С другой стороны, сила тяготения
между воздухом в пузырьке и шариком больше силы притяжения
между воздухом и выделенным
_—> —- пунктиром объемом воды (объем а
_ на рис. 380). Так как масса возf
‘ ‘ — духа в пузырьке очень мала, то
_£ решающим оказывается действие
первого фактора. Пузырек будет
отталкиваться от шарика.
Рис. 380. Движение железного шарика;
’ напротив, будет определяться тем,
что сила притяжения между воздухом в пузырьке и шариком много
меньше силы притяжения между шариком и выделенным пунктиром
объемом воды (рис. 380, объем Ь). Вычисление силы проводится
путем следующих рассуждений. В однородной среде (вода) имеется
сфера с почти полным отсутствием массы (пузырек) и сфера с избыточной массой (шарик). Формально это можно рассматривать как
наличие отрицательной и положительной масс.
Сила взаимодействия между сферами в жидкости равна силе
взаимодействия в пустоте отрицательной массы, равной массе воды
в объеме пузырька, и положительной массы, равной избытку массы
железного шарика над массой воды в том же объеме. Следовательно,
F — — ym i(m 2—m ^ /R 2. Здесь тх—масса воды в сфере радиуса г,
/иа—масса железного шарика.
239. Вблизи пузырька поле тяготения меньше, чем в однородной
жидкости. Жидкость соответственно сжата здесь меньше. Поэтому
в участок жидкости возле одного пузырька устремляется другой,
и наоборот. Пузырьки будут притягиваться. Два пузырька в однородной жидкости, массы которых пренебрежимо малы, можно рассматривать формально как отрицательные массы, наложенные на
положительную массу т среды в объеме пузырька:
; F = y ( — m ) ( — m ) / R * = ym2j R 2.
240. Если бы шар был сплошным, то сила тяготения F1 = yM m /l2,
где М = */snRsp —- масса шара без полости. Наличие полости эквиС
<4
Рис. 381.
валентно появлению силы отталкивания F% — ym’m/S2, где trt’ = */3пг8р,
a S — расстояние между центром полости и материальной точкой;

244

Искомая сила F является геометрической суммой сил Рг и Ft
(рис. 381). По теореме косинусов
•F = | / / :,! + F l — 2F1F t co sp = ’
4 , г6 2R3r? cos 0 _ е ,, 1П_„ „
_ 3 путр у iz(l*— d2) ~ ’
241. Искомая сила притяжения будет являться геометрической
суммой сил притяжения, создаваемых отдельными элементами сферы.
Малые элементы v x и <?2 (рис. 382) вырезаются из сферы конусами
с вершиной в точке А, которые получаются при вращении образующей
ВС вокруг оси SjS2. Площади элементов равны соответственно
(j4Si)2o)/cos а х и (/4S2)2o)/cos а 2. а их массы (^ S 1)2top/cos а х и
(4 S2)2wp/cos а 2, где со—телесный угол, под которым видны оба
элемента из точки А; р — поверхностная плотность сферы (масса,
приходящаяся на единицу площади); Z a i — Z а а> так как треугольник S]OS2 равнобедренный. Силы притяжения, создаваемые элементами, соответственно равны
т (i4St)2 юр __ отшр т ( Л 5 2)2(рр т а р
^ (Л^х)2 cos «j ~ ^ cos ^ (i4S2)2 cos а 2—^ cos а 2’
где т —масса тела, и направлены в противоположные стороны. Их
равнодействующая равна нулю.
Проводя аналогичные рассуждения для других соответствующих
элементов сферы, убеждаемся, что все они попарно компенсируют
друг друга. Следовательно, сила притяжения, которая действует со
стороны сферы на тело, помещенное внутри нее, равна нулю. Заметим, что данный результат справедлив и для сферы конечной толщины, так как ее можно разбить на сколь угодно тонкйЬ сферические
оболочки, для каждой из которых справедливо доказанное выше
утверждение.
242. Сила притяжения равна силе, с которой тело массы т
притягивается к шару радиуса г и плотности р. Внешние слои толщи
Земли не оказывают, как показано в задаче 241, на тело никакого

245

действия. Поэтому искомая сила _
_ {4л/3) рг3т 4я F —у = у — ртг.
Эта сила убывает пропорционально г по нере приближения к центру
Земли.

246

Закон всемирного тяготения #физика, #статика

Пытливый ум — Хочу Всё Знать! Дача, огород, лайфхаки, хендмейд, знания, учёба