Магнитное поле тока

Глава III. ЭЛЕКТРИЧЕСТВО и МАГНЕТИЗМ. Магнитное поле тока. Действие магнитного поля
-на ток и движущиеся заряды.

из книги «Физика для школ и ВУЗов». Скачать бесплатно и без искажений формул на странице «Физика для школ и ВУЗов».

Хочешь помочь сайту?
Поделись страницей с друзьями и поставь лайк!

Магнитное поле тока. Задачки

560. Исходя из соображений размерности, определить
напряженность магнитного поля на расстоянии г от 1) бесконечно длинной прямой нити, по которой течет ток /;
2) бесконечной плоскости, по которой течет поверхностный
ток плотности /.
561. По бесконечной прямолинейной тонкостенной трубе
течет ток I. Определить индукцию магнитного поля в произвольной точке, внутри трубы.
562. Учитывая, что индукция магнитного поля внутри
длинного цилиндрического проводника равна B= k-2n\r,
где / — плотность дока, г — расстояние от оси проводника,
k — коэффициент, зависящий от выбора системы единиц,
определить индукцию магнитного поля в произвольной

109

точке внутри длинной цилиндрической полости, вырезанной параллельно оси проводника. По проводнику течет ток
плотности /. Расстояние между осями проводника и полости
равно d.
563. Начертить распределение линий индукции магнитного поля в полости проводника, описанного в задаче 562.
564. По контуру в виде круга радиуса R течет ток.
Определить индукцию магнитного поля в центре круга,
если сила тока равна I.
Примечание. При определении индукции магнитного поля можно воспользоваться законом Био—Савара—Лапласа. Этот закон утверждает, что элемент контура
А/, по которому течет ток /, создает в произвольной точке
А пространства магнитное поле, индукция которого равна
где г — расстояние от элемента АI до точки А, а — угол,
который составляет радиус-вектор г с элементом А/, k —
коэффициент, зависящий от выбора системы единиц. Направление А В определяется правилом буравчика: направление вращения головки буравчика соответствует направлению тока / в элементе контура АI. Вектор АВ перпендикулярен к плоскости, содержащей элемент АI и радиус-вектор г.
565. По контуру в виде кольца радиуса R течет ток /,
Определить индукцию магнитного поля в произвольной
точке, лежащей на перпендикуляре, восставленном к плоскости кольца из его центра.
566. По бесконечно длинному проводнику ЛЯС, изогнутому под прямым углом, течет ток / (рис, 191). Во сколько
раз изменится напряженность магнитного поля в точке
М , если к точке В присоединить бесконечно длинный пря

110

мой провод BD так, чтобы ток / разветвлялся в точке В
на две равные части, а ток в проводнике АВ оставайся
бы прежним?
567. По проводнику, расположенному в одной плоскости, как изображено на рис. 192, течет ток. Найти индукцию
магнитного поля в произвольной точке линии АВ, являющейся осью симметрии проводника. • •
568. .Под длинной горизонтальной шиной на двух одинаковых пружинах (коэффициент упругости каждой равен
k) подвешен провод длиной I. Когда по шине и проводу
токи не текут, расстояние между ними h. Найти расстояние между шиной и проводом, если по шине течет ток /,
а по проводу i. Провод не может выйти из вертикальной
плоскости. ‘
^ 569. Определить силу, с которой действует бесконечно
длинный прямой провод на прямоугольный контур, расположенный в плоскости провода. Известно, что по проводу течет ток /, а по
контуру — 1\. Стороны контура AD и ВС 1
имеют длину а и расположены параллельно проводу. Расстояние от AD до провода х. Длина сторон AB=D C= h. Направления токов указаны на рис. 193 стрелками. |
.570. Медный провод сечением S, согну- ^ д
тый в виде трех сторон квадрата, может
вращаться вокруг горизонтальной оси
(рис. 194). Провод находится в однородном Рис. 193.
магнитном поле, направленном вертикально. Когда по проводу течет ток /, провод отклоняется на
угодах от вертикали. Определить индукцию поля. Плотной^ меди равна р.
о
. ©1«*>
Рис. 194. Рис. 195.
А
571. В центре длинного соленоида, на каждый сантиметр
длины которого приходится п витке®, находится короткая
катушка, состоящая из N витков и имеющая сечение S.
Ось этой катушки перпендикулярна оси длинного соленоида и направлена вертикально. Внутренняя катушка укреп

111

лена на одном конце коромысла весов, которые в отсутствие
тока находятся в равновесии. Когда через обе катушки
пропускают один и тот же ток /, для уравновешивания весов на правое плечо коромысла (рис. 195) приходится добавить груз Р. Длина правого плеча коромысла равна L.
Определить силу тока /. * /
•Примечание. Индукция магнитного поля вблизи
центра длинного соленоида равна В = ц 0п1, где п ■— число
витков на единицу длины соленоида, а I — сила тока, текущего по соленоиду.
572. По проволочному кольцу радиуса R, подвешенному
на двух гибких проводниках, течет ток I. Кольцо помещено в однородное магнитное поле с индукцией В. Линии
индукции горизонтальны. С какой силой растянуто
кольцо?
^573. Проволочное кольцо радиуса R находится в неоднородном магнитном поле, линии индукции которого составляют в точках пересечения с кольцом угол а относительно
нормали к плоскости кольца (рис. 196). Индукция магнитного поля, действующего на кольцо, равна В. По кольцу
течет ток /. С какой силой магнитное поле действует на
кольцо?
574. Прямоугольный контур Л BCD, стороны которого
имеют длину а и Ь, находится в однородном магнитном поле
индукции В и может вращаться вокруг оси 0 0 ‘ (рис. 197).
По контуру течет постоянный ток /. Определить работу,
совершенную магнитным полем при повороте контура ца
180°, если вначале плоскость контура была перпендикулярна магнитному полю и расположена так, как показано
на рис. 197,

112

575. Как будет двигаться в однородном магнитном поле
электрон, если в начальный момент его скорость составляет
угол а с’линиями индукции поля?
576. По металлической ленте ширины А В = а течет ток /.
Лента помещена в магнитное поле, индукция которого
перпендикулярна ленте (рис. 198). Определить разность
потенциалов между точками Л и В ленты. .
577. Незаряженный металлический брусок представляет собой прямоугольный параллелепипед со сторонами
а, Ъ, с (сф>с, Ь^>с). Брусок дви-
.жется в магнитном поле в направлении стороны а со скоростью V . Индукция магнитного
поля В. перпендикулярна осноВ , ‘
Рис. 198.
у
%
V
Ч
t
ванию бруска со сторонами а, с (рис. 199). Определить
напряженность электрического поля в бруске и плотность
электрических зарядов на боковых поверхностях параллелепипеда, образованных сторонами а,Ь.
578. Незаряженный металлический цилиндр радиуса г
вращается в магнитном поле с угловой скоростью со вокруг
своей осн. Индукция магнитного поля направлена вдоль
‘ оси цилиндра. Каково должно быть значение индукции
магнитного поля, чтобы в цилиндре не возникло электростатическое поле?
579. Найти напряженность электростатического поля
в цилиндре (см. задачу 578), если индукция магнитного поля
равна В.
580. Пучок однозарядных ионов попадает в область пространства, где имеется однородное электрическое поле с напряженностью Е = Г00 Н/Кл и однородное магнитное поле
с индукцией 5= 0,02 Н/(А-м). Электрическое и магнитное
поля направлены под прямым углом друг к другу и оба
перпендикулярны к пучку. Ионы проходят эти скрещенные электрическое и магнитное поля без отклонения и прони ка ют через-щель в область однородного магнитного поля
с индукцией 5 ‘= 0 ,0 9 Н/(А-м), направленной перпендику­

113

лярно движению ионов. Если ионы представляют собой
смесь с массами, равными 20 и 22 атомным единицам массы,
то на каком расстоянии друг от друга эти ионы окажутся,
пройдя половину окружности?

114

Магнитное поле тока. Ответочки

560. В системе СИ имеем [H] = I/L, [/] = /, [r]=L, [j)=UL, Отсюда следует: расчет дает елегде 1 и L —символы размерностей тока и длины. в случае (1) H = Cif/r; в случае (2) Я = С2/, где Cj и С2— некоторые константы. Теоретический дующие точные формулы: в случае (1) Я = //2яг; в случае (2) Н = //2. 661. Ток, протекающий по трубе, можно рассматривать как сум му множества одинаковых прямолинейных токов, равномерно распределенных по поверхности трубы. Напряженность магнитного поля в любой точке пространства можно представить как сумму напряженностей полей, создаваемых этими токами. На рис. 463 изображено поперечное сечение трубы, вдоль которой проходит ток. Сравним напряженности магнитных полей Н х и Н2, создаваемых в точке А линейными токами / х и / 2> проходящими через малые дуги St и S 2. Длины дуг равны Sl = a/?1/cos фх и S2= a /? 2/cos где и R t — расстояния до точки А. Но, как видно из чертежа, <Pi = ср2- Следовательно, S1/S2 = # i/# 2- Ток по трубе распределен равномерно, поэтому 1ХЦ2 = S J S 2, откуда / X/R X = = /*/$*■ — ‘ ■ Напряженности магнитных полей, создаваемых в точке А токами 1Х и / 2, пропорциональны этим токам и обратно пропорциональны соответствующим расстояниям. Следовательно, . Hx = k l x/R x = k I 2/R 2 = H 2, — ‘ причем И х и Н 2 направлены в противоположные стороны. Так как для каждого элемента поперечного сечения трубы можно подобрать соответствующий элемент, полностью компенсирующий магнитное поле первого элемента в точке А , то результирующее магнитное поле

325

тока, протекающего по трубе, в любой точке внутри трубы будет
иметь напряженность, равную нулю. >
562. Проводник с подсетью эквивалентен сплошному проводнику,
по которому течет ток плотности /, а по объему, соответствующему
полости, -кроме того, течет ток той же плотности в обратном направлении. Суммарный ток в указанном объеме будет равен нулю, а это
соответствует наличию полости в сплошном проводнике.
Поле, созданное током плотности / в произвольной точке А полости, равно Bi = k-2njR (рис. 464). Здесь ^ — расстояние от оси
проводника до, точки А. (Предполагается, что ток течет к нам.) В той
же точке ток, текущий по объему, соответствующему полости, в обратном направлении, создает поле В2 = &-2л;/л. Как видно из рис.
464, полная индукция
Очевидно,
В = У В \+ В \—2ВХВ2 cos ос.
+
cos а = — 2Rr
Отсюда индукция В = k-2njd одинакова для всех точек полости.
563. Д АОС со Д BAD (рие. 464), так как зги. треугольники
имеют по одному равному углу, а стороны, заключающие эти углы,
пропорциональны. Значит, £ A O C = £ B A D . Ho Я _|_ В1г и, следовательно, В _\_d. Индукция магнитного поля в любой точке полости перпендикулярна линии, соединяющей центры проводника и полости- Соответствующее распределение линий изображено на рис. 465.
584. Любой элемент кругового кодаура АI находится на одном
и том же расстоянии R от центра. Кроме того, для любого элемента АI радиус-вектор R перпендикулярен к Д/, т. е. се= я/2,
sin 06=1. Таким образом, индукция магнитного пшя? Д®, создаваемого в центре круга элементом At, равна АВ = k l Al/R2. — —
Индукция ДВ направлена перпендикулярно к плоскости круга,
и так как все элементы ДI создают в центре одинаково направленные ДВ, то суммарная индукция- магнитного поля выразится суммой
/д/ kj V ф В*.
Учтя, что 2 д / = 2я/?, получаем B = k2nl/R

326

385. Определим индукцию магнитного поля в точке А, отстоящей н а расстояние d от плоскости контура (рис. 466). Расстояние
«лементов М от точки А обозначим через г. Рассмотрим индукции
ABf и ДВ 2, создаваемые двумя элементами контура А/( и А/г, находящимися на противоположных концах диаметра. Так как угол а
между г я At равен я/2 (как угол между образующей конуса и элементом окружности его основания), то (см. задачу 664)
A B t — k l Aljrl, АВ г^к ! Alt/rl
Выбрав А1г = А1г— А1 и замечая, что гг = гг, получим
ABt = ДВ2 = k l Al/r2.
Геометрическая сумма АВ векторов ABj и АВ, будет направлена вдоль оси кругового тока и численно равна сумме проекций
ABi я АВ* на ось 0А-. . <
АВ = ABt sin р — f AS,, sin fi = 2k sin p.
Поскольку sin P — R/r, to
, 2/ А/ _ A B = k — R.
Разбивая весь круговой контур на хоответствующие пары элементов At, получим, что результирующая индукция магнитного ш ля
направлена вдоль оси кругового тока и численно равна сумме
21 A IR . I R
й = 2 д в = 2 *
Поскольку 2 ‘ ^ l Al — 2nR, то
B = k I- ^ 2 n R = k 2nR 4
(/?2+ d 2)s/a ‘
366. Проводник ВС не создает поля в точке Л!. Согласно д а н ­
ному в примечании к задаче 564 правилу магнитное поле от любых
элементов проводника ВС должно быть перпендикулярно линии
ВМ. Поэтому наличие отличного от нуля поля в М противоречило
бы симметрии задачи, ибо все направления, перпендикулярные ВМ,

327

равноправны. Так как напряженность поля пропорциональна силе тока, то до присоединения провода H1 = kl. Поля от проводников АВ и BD складываются. Следовательно, после присоединения проводника BD Я2 = 6/ + Й //2. Отсюда Н 3/Н1 = 3/2. 567. В произвольной точке линии АВ любой малый элемент тока проводника АСВ создает магнитное поле, перпендикулярное плоскости чертежа (см. задачу 566). Симметричный ему элемент проводника ADB создает такое же поле, но направленное в противоположную сторону. Поле от двух любых симметрично расположенных элементов поэтому будет равно нулю. Следовательно, поле в произвольной точке АВ, созданное всем проводником, равно нулю, так как прямолинейные участки проводника также не создают поля на АВ. 568. 1) Токи / и «’ текут в одну сторону. Сила взаимного притяжения между шиной и проводом при расстоянии х между ними равна . в — Ро11 2лх I. Равнодействующая силы тяжести и сил упругости пружин направлена вниз и равна f = 2 k(h—х). В положении равновесия F — f. Отсюда получаем квадратное уравнение относительно х. Решение уравнения дает = — у -j- (устойчивое равновесие); *2 = у — -jj— (неУст°йчивое равновесие). Если Л2/4 < fi0Iil/4nk, т. е. k < n0lil/nh2, провод притянется к шине. 2) Токи / и I текут в противоположных направлениях. Провод отталкивается и будет в устойчивом равновесии на расстоянии — r + V h2 , ц0Ш 4nk 569. Силы, действующие на стороны АВ и DC, равны по величине и противоположны по направлению, их сумма равна нулю. Сила Ft, действующая со стороны тока / на AD, равна • „iV A 2пх Сила F 2, действующая на ВС, равна р __ Ш >^1 <2 — ? 2п (я+Л ) Силы Fx и Ft направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны, причем FL > /?2. Следовательно, контур будет притягиваться к пррводу с силой , р — р _ р М hah , 2ях (х \ ti) ‘

328

570. Обозначим длину стороны квадрата через /. Момент сил
магнитного поля, выводящий рамку из вертикального положения,
На рамку, отклоненную от вертикали на угол а , действует, кроме
того, момент сил тяжести, стремящийся вернуть рамку в вертикальное положение. Этот момент равен
571. Магнитный момент М, действующий на короткую катушку
со стороны поля соленоида, равен M = INSB, где В = ц0п1. Из усобразом, что силовые линии поля станут перпендикулярными плоскости кольца и будут образовывать с направлением тока правый
винт. При этом натяжение кольца станет максимальным. Применяя
метод, использованный при решении задачи 415, получим F = BIR.
573. На элемент кольца Д/ действует сила ДF = BI Al (рис. 467).
Разложим ее на составляющие Д/?1 и Л/; Д/г1 лежит в плоскости
кольца, a Af= A F sin а нормальна к плоскости кольца. Равнодействующая сил AFlt действующих на отдельные элементы кольца, равна
нулю. Эти силы только растягивают кольцо. Полная сила /, действующая на кольцо, равна сумме сил Дf:
574. Силы, действующие на стороны ВС и AD, перпендикулярны
перемещению этих сторон, поэтому эти силы не совершают работы.
Силы, действующие на стороны АВ и CD, постоянны, составляют

329

прямой угол с направлением поля и численно равны f= jB /a
(ри£, 468). Искомая работа будет равна удвоенному провзв^рШ О
си’Лы на перемещение стороны А В или CD в направлении силы. Это
перемещение при повороте контура на 180° равна Ь, Следовательно,
Л = |В/а&. — } .
575. Разложим скорость электрона на составляющие: v ц —параллельную В и перпендикулярную В (рис. 469). v ц не меШ?ется ни по величине, ни по направлению, так как сила Лоренца
не действует на частицу, имеющую скорость вдоль поля, меняется
по направлению, так как за счет этой составляющей на электрон
‘ действует сила Лоренца, постоянная по величине и перпендикулярная скорости i>j_. Поэтому ускорение электрона тоже постоянно по
величине и перпендикулярно скорости Uj_. Но движение с Постоянной скоростью и постоянным ускорением, перпендикулярным этой
скорости, есть равномерное движение по окружности.
Таким образом, на равномерное поступательное движение вдоль
В накладывается вращение по окружности в плоскости, перпендикулярной В. В результате возникает движение но винтовой линии
с шагом А = СцТ, где т —время одного оборота электрона ho
окружности, радиус которой, как легко найти, равен R — mv sin а /Be.
Так как т *= 2nRjv^ = 2пт/Ве, то h = (2пт/Ве) и cos а.
а
/}
+ + + + + + + +
Рис. 469. Рис. 470. ‘
576. Вследствие действия силы Лоренца электроны будут перемещаться к краю ленты. Поэтому один край ленты приобретет отрицательный заряд, а другой — положительный; внутри ленты возникнет
дополнительное электрическое поле, напряженность -Е которого
направлена перпендикулярно току. Перемещение электронов продолжится до тех пор, лока сила Лоренца не будет уравновешена силой,
действующей на электрон со стороны электрического поля; еЕ == Bev.
Отсюда E = Bv. Разность потенциалов фл — q>s^Ea = Bva, или, так
как I = nevS, фл — фй = Bal/neS.
577. Сила Лоренца действует как на свободные электроны, так
и на положительные ионы, находящиеся в узлах кристаллической
решетки, поскольку и те и другие движутся в магнитном поле. Сила
/, действующая на свободные электроны, согласно правилу левой
рука будет направлена так, как это показано на рис. 470. Электроны
относительно решетки смещаются, и одна боковая сторона параллелепипеда заряжается отрицательным электричеством, другая —положительным. В бруске возникает электрическое поле, и, когда напря

330

женность этого поди будет удовлетворять соотвошению еЕ — Bev,
перемещение электронов относительно решетки прекратится. Искомая
напряженность Е = Ви. Плотность зарядов о находим из соотношений а/е„ — Е. Следовательно, а = Вае0.
378. Для того чтобы электростатическое поле не возникало, электроны при вращении цилиндра не должны перемещаться относительно
кристаллической решетки. Эго перемещение будет отсутствовать, если
_ действующая на электроны сила Лоренца равна та>2г, т. е. mo>V =
—Bev. Так как а==а>г, то В — пт/е. Поле должно быть направлено
в сторону поступательного перемещения буравчика, рукоятка которого
вращается в том же направлении, что и цилиндр. .
579. Е ~ т® Г ш г В. Здесь заряд электрона равен (— е). Е положительно,. если направлено от оси цилиндра. Если направление В
и направление вращения цилиндра составляют правый винт, то надо
брать знак минус, в противном случае—знак плюс.
880. Так как ионы проходят скрещенные поля без отклонения,
то Ее— Bev — 0, откуда v = E / B = 5000 м/с. В дальнейшем каждый
ион будет двигаться по окружности диаметра 2R = 2rnv/B’e, где т. —
масса иона. Следовательно, искомое расстояние р’авно Д(2R )—
= J L . Tag как Ат= 2 атомные единицы массы =2-1,66 -10—27 кг,
е— 1,6-10-и ‘Кд, и= 5000 м/с, В ‘= 0 ,0 9 Н/(А-м), то
д . . т 2-1,66-Ш- 27 5000 , 1К т . f fK
A(2/?)==»i,6-10-»»MO ’ м~ , мм’

331

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО, МАГНЕТИЗМ, Магнитное поле тока #физика

Пытливый ум — Хочу Всё Знать! Дача, огород, лайфхаки, хендмейд, знания, учёба