Электромагнитная индукция. Переменный ток

Глава III. ЭЛЕКТРИЧЕСТВО и МАГНЕТИЗМ. Электромагнитная индукция. Переменный ток.

из книги «Физика для школ и ВУЗов». Скачать бесплатно и без искажений формул на странице «Физика для школ и ВУЗов».

Хочешь помочь сайту?
Поделись страницей с друзьями и поставь лайк!

Электромагнитная индукция. Переменный ток. Задачки

581. Реактивный самолет с размахом крыльев 20 м летит
прямо на север со скоростью 960 км/ч и на такой высоте,
где вертикальная составляющая индукции магнитного поля
Земли равна 6 * 10“ 5 Т. Чему равна разность потенциалов
между концами крыльев? На каком крыле более высокий
потенциал?
582. По двум направляющим металлическим рейкам движется без трения с постоянной скоростью проводник длины
I, электрическое сопротивление которого равно г. Рейки
соединены неподвижным проводником, сопротивление которого равно R. Все проводники расположены в одной плоскости и находятся в постоянном магнитном поле, индукция
которого равна В и направлена перпендикулярно плоскости
проводников (рис. 200). Электрическое сопротивление реек
мало по сравнениюс г и R. Определить разность потенциал
л08 электрического поля между точками А и В. Объяснить
причину возникновения электрического тока.
583. По двум вертикальным рейкам АВ и CD, соединенным сопротивлением R, может без трения скользить проводник, длина которого I и масса т. Система находится в
однородном магнитном поле, индукция которого В перпендикулярна плоскости рисунка (рис. 201). Как будет двигаться подвижный проводник в поле силы тяжести, если
пренебречь сопротивлением самого проводника и реек?

114

584. По двум металлическим параллельным рейкам, расположенным в горизонтальной плоскости и замкнутым на
конденсатор емкости С, может без трения двигаться проводник массой т и длины I. Вся система находится в однородном
магнитном поле, индукция которого В направлена вверх.
К середине проводин ка перпенди кулярно к нему и параллельно рейкам приложена сила F (рис. 202). Определить ускорение подвижного проводника, если сопротивление реек, подводящих проводов и подвижного проводника равно нулю.
В какие виды энергии превращается работа силы F? Считать, что в начальный момент скорость проводника равна
нулю. ‘ ‘
585. Прямоугольная рамка расположена в плоскости
бесконечного прямолинейного проводника с током, причем
стороны AD и ВС параллельны проводнику (рис. 203). В середине стороны DC
включен прябор, измеряющий заряд,
протекающий по контуру (на рисунке
не показан). Рамку можно перевести в
0 # F
А В
Рас. 202.
В
Рис. 203.
L J
новое положение, изображенное на рис. 203 пунктиром,
двумя способами: 1) перемещая ее параллельно самой себе;
2) вращая на 180° вокруг стороны ВС. В каком случае
заряд, протекший через прибор, будет больше?
586. Катушка из и витков, площадь каждого из которых
S, присоединена к баллистическому гальванометру. (Баллистический гальванометр измеряет количество прошедшего
через него электричества.) Сопротивление всей цепи R.
Вначале катушка находится между полюсами магнита в области, где магнитное поле однородно й индукция его В
перпендикулярна площади витков. Затем катушку переместили в пространство, где магнитное поле отсутствует.
Чему , равно количество электричества, прошедшего через
гальванометр?
587. Прямоугольный контур ABCD перемещается поступательно в магнитном поле тока / , текущего по длинному
прямому проводу ОО’ . Стороны AD и ВС параллельны проводу, Определить величину и направление тока, индуциро

115

ванного в контуре, если контур перемещается с постоянной
скоростью V. AD =BC=a, A B —DC—b. Сопротивление контура R. (Рис. 204.) г
588. Проволочное кольцо радиуса г находится в однородном магнитном поле, индукция которого перпендикулярна плоскости кольца и меняется с течением времени по
закону B = kt. Определить напряженность электрического
поля в витке. —
О1
Н С
Рис. 204.
589. Кольцо прямоугольного сечения (рис. 205) сделано
из материала с удельным сопротивлением р. Кольцо находится в однородном магнитном поле. Индукция магнитного
поля/направлена по оси кольца и увеличивается прямо пропорционально времени: Ъ=Ы. Найти силу тока, индуцируемого в кольце.
590. Одна половина проволочного кольца радиуса г
имеет сопротивление R u а другая R 2.’ Кольцо находится
в однородном магнитном поле, индукция которого перпендикулярна плоскости кольца и меняется с течением времени по закону B = B e-\-kt Не ­
постоянная величина). Определить
напряженность электростатического
поля в кольце.
591. Определить силу тока в проводниках цепи, изображенной на
рис. 206, если индукция однородного магнитного поля перпендикулярна плоскости чертежа и изменяется во времени по закону B = kt.
Сопротивление единицы длины проводников равно г.
592. В однородном круглом проволочном кольце создан постоянный индукционный ток /, Переменное маг

116

нитное поле, создающее этот ток, перпендикулярно плоскости кольца, сосредоточено вблизи его оси симметрии и имеет
ось симметрии, проходящую через центр кольца (рис. 207).
Чему равна разность потенциалов между точками. Л и В?
Что будет показывать электрометр, присоединенный к этим
точкам?
593. Переменное магнитное поле создает в кольцевом
проводнике ADBKA постоянную электродвижущую силу
£ (см. задачу 592). Сопротивления проводников ADB,
АКВ и АСВ (рис. 208) равны соответственно R lt R 3 и Ra.
Какую силу тока будет показывать амперметр С? Магнит-1
ное поле сосредоточено у оси кольцевого проводника,
594. Сопротивление проводника АСВ (см. задачу 593)
R a= 0. Найти силы токов 1и /2 и /3 и разность потенциалов
Ua- V b- —
595. По двум металлическим параллельным рейкам, замкнутым на сопротивление R, перемещается проводник длины I. Скорость перемещения проводника равна и. Вся система находится в однородном магнитном поле, индукция
которого направлена перпендикулярно плоскости, в которой лежат рейки, и изменяется со временем по закону
B= B„+ kt. В начальный момент площадь abed равна S*.
Определить силу тока в цепи.
(Рис. 209.)
596. В однородном магнитном поле находится проволочное кольцо, способное вращаться вокруг диаметра, перпендикулярного линиям магнитной индукции. Индукция
поля начинает возрастать. Найти возможные положения

117

равновесия кольца и указать положение устойчивого
равновесия. Что изменится, если индукция будет убывать?
597. На цилиндр из немагнитного материала намотано
N витков проволоки (соленоид). Радиус цилиндра г, его
длина / (г<^Х). Сопротивление проволоки /?. Каково должно
быть напряжение на концах проволоки, чтобы ток возрастал прямо пропорционально времени, т. е. чтобы выполнялось равенство I= k t?
598. Соленоид (см. задачу 597) присоединен к батарее,
э.д.с. которой равна <§■ В момент времени t —0 замыкают
ключ. Чему будет равна сила тока в цепи соленоида,
если пренебречь сопротивлением R соленоида, батареи
и подводящих проводов? .
599. Подсчитать работу батареи (см. задачу 598) за
время х. В какой вид энергии превращается эта работа?
600. Кольцо из сверхпроводника помещено в однородное магнитное поле, индукция которого нарастает от нуля
до В0. Плоскость кольца перпендикулярна линиям индук-
• ции магнитного поля. Определить силу индукционного тока,
возникающего в кольце. Радиус кольца г, Индуктивность L.
601. В однородном магнитном поле с индукцией В находится сверхпроводящее кольцо радиуса л Линии магнитной
индукции перпендикулярны плоскости кольца. Тока в кольце нет. Найти магнитный поток, пронизывающий кольцо,
после того, как магнитное поле будет выключено.
602. Перед полюсом электромагнита на длинной нити подвешено кольцо из сверхпроводника (рис. 210). Что произойдет
с кольцом, если по обмотке
электромагнита пропустить переменный ток?
603. Из провода длины /’изРис. 210. готовили соленоид длины/0. Диаметр соленоида d<^/0. Определить индуктивность соленоида.
604. Через соленоид длиной 1м , имеющий 2000 витков
диаметром 10 см, течёт ток 1 А. Соленоид равномерно растягивается со скоростью 40 см/с, причем приложенная к соленоиду разность потенциалов непрерывно меняется так,
что ток остается постоянным. Каково будет изменение разности потенциалов к тому моменту, когда соленоид растянется вдвое? Изменением диаметра соленоида при растяже-
\ нии пренебречь.

118

605. .Магнитное поле внутри разомкнутого соленоида
однородно, и его индукция меняется с течением времени по
закону В =В„ cos cat. Определить напряжение U на концах
соленоида, возникающее при этом. Соленоид имеет N витков, и его радиус равен г.
606. Последовательно с соленоидом, имеющим N витков
радиуса г, соединено омическое сопротивление R. Магнитное поле внутри соленоида однородно, и его индукция меняется со временем по закону В = В 0 cos (оt. Определить
напряжение UAB между точками Л и В и ток / в цепи.
(Рис. 211.)
J V Y W Y \.
R
-C D —
Рис. 211.
■■ В
Рис. 212.
R
С З —
I
Ц,
607. Последовательно с соленоидом включены конденсатор емкости С и омическое сопротивление R. Соленоид
имеет N витков радиуса г. Магнитное поле внутри соленоида однородно, и его индукция изменяется со временем
nqjjaKOHy B = B 0cos(o/. Определить напряжение UАв между точками Л и В и напряжение
UBC между В и С, а также ток
I в цепи. (Рис. 212.)
608. 1) От середины катушки с
железным сердечником (обмотка —
толстый медный провод с большим -f»
числом витков) ! сделан отвод С
(рис. 213). Между точками В и С
создается постоянное напряжение
t/i. Найти напряжение U2 между
точками Л и В.
2) Между точками В и С приложено переменное напряжение (например, от городской сети) с амплитудой Ui. Найти
амплитуду- U2 переменного напряжения между точками
А и В. ~
609. Обмотка лабораторного регулировочного автотрансформатора (ЛАТР) намотана на железном сердечнике, имеющем форму прямоугольного тороида (рис. 214), Для за

119

щиты от вихревых токов (токов Фуко) сердечник набивают
из тонких железных пластин, изолированных друг от друга
слоем лака. Это можно сделать различны­
_ ми способами: 1) набирая сердечник из
^тонких колец, положенных стопкой одно
на другое; 2) свертывая в рулон длинную
ленту, имеющую ширину А; 3) собирая
сердечник из прямоугольных пластин размером /ХА, расположив их вдоль радиусов цилиндров.
Какой способ лучше?
. 610. По катушке, не имеющей омического сопротивления, протекает переменРис. 214. ный синусоидальный ток. Индуктивность
катушки L. Начертить график изменения
со временем произведения тока на напряжение (мгновенной мощности). Объяснить характер кривой. Чему равна
средняя за период мощность, потребляемая катушкой?
611. Найти эффективную величину переменного тока,
изменяющегося по закону: ,
/ /о
/ = 0
/ = —/„ при
1 = 0 при
при 0 < t < ;
т т
при < t < 8
Т
о ПРИ Т
£
8
2 ’
< < < |п
T < t < T ;
/ = /0 при Т < t <-%?
и т. д. (Рис, 215.)
‘ i
О
т[г •п
т
LT
Рис. 215.
612. Почему наличие очень высокого напряжения во
вторичной обмотке повышающего трансформатора не приводит к большим потерям энергии на выделение тепла в
самой обмотке?

120

613. Зачем в сетях переменного т о р , содержащих большое число электроприборов значительной индуктивности
(например, дросселей), параллельно этим приборам подключают конденсаторы?
614. Для определения мощности, выделяемой переменным током в катушке с коэффициентом самоиндукции L и
омическим сопротивлением R L, иногда
применяют метод трех вольтметров, заключающийся в следующем. Включают
известное сопротивление R и три вольтметра так, как указано на рис. 216. Измерив с помощью этих вольтметров эффективные напряжения: Ux — на катушке, Uг — на сопротивлении R и U —
между клеммами катушки и сопротивле- {JU Z
ния, определяют искомую мощность W.
Какова она?
§15. — Поверх длинного соленоида,
имеющего ATi витков, длину I и площадь Рис. 216.
сечения S, вплотную намотан по всей
длине второй соленоид, имеющий N 2 витков и такое же
сечение S: Определить коэффициент взаимной индукции соленоидов. (Коэффициент взаимной индукции Ь12 двух контуров численно равен потоку магнитной индукции, пронизывающему второй контур в случае, когда через первый
контур протекает ток 1=1 А.)
616.’Поверх длинного соленоида вплотную намотана
катушка. Ток в соленоиде нарастает прямо пропорционально
времени. Каков характер зависимости тока от времени в
катушке? .
617. Два сверхпроводящих кольца радиуса г находятся
на расстоянии d друг от-друга, причем сф>г. Центры колец
лежат на прямой 0 0 ‘, перпендикулярной плоскостям обоих
щ — т
Рис. 217.
колец. Кольца могут перемещаться только вдоль этой прямой, В начальный момент по кольцам текут в одном направлении токи одинаковой величины / в. Какие токи установятся в кольцах после того, как они сблизятся вплотную? (Рис. 217.)

121

618. Описать характер движения ‘ колец задачи 617,
если в начальный момент времени текущие по ним токи
имели разную величину. Рассматривать только силы- магнитного взаимодействия.
619. Показать, что при пренебрежении током холостого хода трансформатора и омическим сопротивлением его
обмоток имеет место соотношение -1 i/It= N j Nи где It и
/3 — токи в обмотках, a и N3 — числа витков в них,
Обмотки рассматривать как катушки с одинаковым поперечным сечением.
620. Поверх длинного соленоида, имеющего длину I,
сечение S и число витков N lt вплотную по всей длине намотан второй соленоид, имеюZ’ Ч —_ _ щий число витков N 2 и такое
Я &— 0 у ^ же еечение S, как и-первый.
Сеть Т По первому соленоиду течет
~?27В -Л -jC ток 1и по второму — ток / 2.
/] ————— ;——— 1___# Найти энергию магнитного
поля этой системы.
Рис- 218‘ — 621. На какие пробивные
‘ напряжения должны быть
рассчитаны конденсатор С и диод Л, если выпрямитель
(рис. 218) может работать как под нагрузкой, таки без нее?

122

Электромагнитная индукция. Переменный ток. Ответочки

581. 1,07 милливольта; более высокий потенциал — на западном
крыле. На все элементарные заряды самолета действует сила Лоренца.
Эта сила вызовет движение электронов проводимости с запада на
восток. Движение электронов прекратится, когда работа силы
Лоренца станет равна работе сил электрического подя, создаваемого
перемещенными электронами, т. е. когда будет выполнено условие
U — — vBl (1)
(знак минус означает, что в направлении движения электронов потенциал понижается), где I — длиаа кр ыльев, В —индукция магнитного
поля, о—скорость движения самолета, U —разность потенциалов
между концами крыльев. Заметим, что равенство (1) эквивалентно
соотношению U — — ДФ/Д/, ибо vl = AS/At — площадь, очерченная
крыльями самолета за единицу времени, и при В = const
. . ■ Bvl = В AS/At == ДФ/Дt
есть величина потока магнитной индукции, пересеченного крыльями
самолета за единицу времени. ‘
582. Электроны проводимости проводника АВ движутся со скоростью v, находясь в магнитном поле, следовательно, на них действует сила Лоренца, направленная Вдоль проводника от точки В
к точке А. Сила Лоренца, приходящаяся на единицу заряда, в данном елучае, поскольку v \ В, равна F — Bv. Электродвижущая сила
— по определению, численно равна работе, совершаемой над

331

единичным положительным зарядом при движении его по замкнутому
контуру. Так как сила Лоренца действует только на участке Л В,
то <0 = Bvt. В цепи возникает ток
I = £ /( r + R) = vBlHR + r).
Легко убедиться в том, что механическая работа, совершаемая
внешними силами, превращается полностью в джоулево тепло. Электрическое поле в цепи имеет электростатическую природу, т. е.
источником этого» поля являются поверхностные заряды. Для того
чтобы определить разность потенциалов — срд, применим закон
Ома к участку цепи АВ:
$ + <tA — <tB = Ir, <pA — <pB = — vB lR /(R + r):
Следовательно, фл < ФВ- Напряженность Е электростатического поля
в подвижном проводнике равна
£ = (ф в—ф а )/1 = BvR/(R + г)
и направлена от В к А
583. Пусть скорость движения проводника в какой-то момент времени равна V. Тогда э. д. с. в этот же момент времени будет равна
(§ = Blv, а сила тока I = Blv/R. Вследствие действия магнитного
поля на проводник с током появится сила /, препятствующая свободному падению проводника: f = B2l2v/R. Следовательно, в рассматриваемый момент времени ускорение определится из соотношения
ma==mg— f = m g — B2l2afR.
Легко видеть, что ускорение а по мере увеличения скорости будет
уменьшаться, и в момент, когда наступит равенство сил f = mg, ускорение станет равным нулю. Проводник, начиная с этого момента, будет
двигаться с постоянной скоростью vh, равной vk = mgR/В2Г2.
584. Э .д .с . индукции, возникающая в проводнике, <§ = Blv.
Заряд на обкладках конденсатора находится из соотношения Q =
= $ C — BlvC. Текущий в цепи ток I — AQ/At = BIC Av/At = BICa,
где а —искомое ускорение. Вследствие взаимодействия этого тока
с магнитным полем появится сила действующая на подвижный
проводник. На основании правила Ленца эта сила будет направлена
в сторону, противоположную силе F. По величине Fi = B Il = ВЧ2Са.
Искомое ускорение может быть найдено из соотношения ma = F — Fx.
Отсюда a = F/(m -\-B42C) есть величина постоянная. Работа силы F
на пути S пойдет на приращение кинетической энергии проводника
и на увеличение электростатической энергии конденсатора.
585. При изменении магнитного потока, пронизывающего,рамку,
на малую величину ДФ за малое время At в рамке индуцируется
э. д. с. <§ = — ДФ/Дt и протекает ток, который можно считать постоянным благодаря малости At. Следовательно, заряд, протекший через
прибор за время At, равен
Д9 = <£Д*/Я = — Д Ф /Я ,
где R — сопротивление рамки; он зависит только от изменения потока
за время At. Полный заряд, протекший через прибор, равен сумме
элементарных зарядов Дq:

332

Изменение магнитного потока в обоих случаях имеет один и тот же
знак (поток уменьшается), но в первом случае поток изменяется
от некоторого положительного значения до другого, меньшего положительного значения. Во втором случае изменение потока происходит от того же ‘начального значения до нуля и далее до некоторого»
отрицательного значения. Таким образом, во втором случае полное
изменение потока больше, чем в первом, а следовательно, во втором
случае больше и заряд, протекший через прибор.
586. На основании закона электромагнитной индукции и закона
Ома имеем
— AQ — I Д/ = ДФ//?, или <2 = (Ф — Ф0)/%.
Так как начальный магнитный поток Ф0 = BSn, а конечный Ф = 0,
то количество протекшего электричества будет равно Q = BSn/R.
587. Так как э. д. с. индукции $ = — ДФ/Д^, то
/ = ___п )
инд R At ’ ‘ ‘
где Ф —магнитный поток, пронизывающий контур ABCD. Если пренебречь индуктивностью этого контура, то
\1й1аЬ Ах ДФ = 2лх(х-\-Ь)’
где А х— расстояние, на которое перемещается контур за время At.
Положив в этом равенстве Ax — v A t и подставив полученное выражение в ( 1), найдем
r jx0ab /и
яям==2пх (х + b ) ~ R ‘
Ток / иня направлен по часовой стрелке. ■
588. Согласно закону Фарадея $ i = A<l}/At = kS, Э. д. с. индукции
численно равна работе, совершаемой электрическим полем при перемещении единичного положительного заряда вдоль витка, т. е. <§; =
= 2лг-Е. Отсюда E = $i/2nr. Таким образом, окончательно получаем
Е — knr2/2nr = hr j2.
Надо отметить, что данное электрическое поле создается не электрическими зарядами, а меняющимся во времени магнитным полем.
Напомним, что работа при перемещении электрического заряда по
замкнутому контуру в случае электростатического поля всегда равна
нулю. Под электростатическим полем мы понимаем электрическое
поле, создаваемое электростатическими зарядами. —
589. Разобьем кольцо на п = (Ь— а)/Ь колечек шириной 6 каждое. Рассмотрим колечко высоты к, внутренний радиус которого х,
а внешний х + 6. Если б мало по сравнению с х, то сопротивление
такого кольца можно выразить формулой
. R — р 2nxjbh.
Величина э. д. с. индукции, действующей в этом кольце (при
условии, что 6 <^х), равна $ = АФ/Аt — nx2k. Сила тока, текущего

333

по такому кольцу,
Д/ = <§ m&kbh kbhx
R р • 2лх 2р
Для того чтобы найти силу тока, текущего по всему кольцу, надо
найти, чему равняется сумма следующего вида:
/ = {в+<а+вЖ а’+28)+ … + [«+(«-1) 6]}.
Выражение в скобках представляет собой арифметическую прогрессию. Поэтому
. М ., \2о-\~Ь-^а— 6 i ~ T p ( b — a ) ^ -2…. .
Этот результат будет тем точнее, чем меньше величина б. Полагая
6 стремящимся к нулю, получим
/ = | У — аг>-
590. На рис. 471 указано направление магнитного поля и э. д .с.
индукций $ (Для k > 0). Правая половина кольца имеет сопротивление R p а левая R x. Э. д. с. индукции была определена в задаче 588:
$ *=knr3. Сила тока согласно закону Ома равна
I = & K R i + R 2) = knr2j(R 1+ 2).
Как известно, электрическое поле создается электрическими зарядами
(электростатическое поле),
а
также меняющимся во-времени магнитным полем (вихревое поле). Обозначим через фа и фь потенциалы электростатического поля в точкам а и Ь
соответственно. На основании закона
‘Ома для правого полукольца можно
написать
ф в ~ ФЬ + 1/г<^ = ^ а .
а для левого полукольца
фь—фв + Ve <£ = / # 1*
Отсюда находим
<ра- Ф ь = Ыг-^ ^ 1 -у (1)
Таким образом, если R2 > R x, то фа > щ . Из (1) легко найти напряженность электростатического поля Е х: ,
р Фа ф ь и. Rj-^-Rj
1 я г Щ Г + Ж Г
Напряженность электрического поля Ег, созданного изменением во
времени магйитного поля, вычислена в зад.аче 588. Ода равна Яа **=
= кг/2- (На рйсунке указано направление напряженностей в левом
и правом полукольце для случая, когда > Ri-)

334

591. Ц контуре ABCD действует э .д .с . индукции <§i = ka?, а
в контуре BEFC ^ = ka2/2. Простейшая эквивалентная схема
с гальваническими элементами, заменяющими э. д. с. индукции, для
„ В „ ‘ •
= — 1
Тг «»■»* Jg IlMllift’l
Рис. 472.
нашей цепи имеет вид, изображенный на рис. 472. На основании
закона-Ома
h ar — S i — I i Ъаг = /22аг —
Вследствие сохранения заряда и постоянства потенциала =
Из данной системы уравнений легко найти все три тока:
I _6<$>i+ 2 — ^ 2 г 2 $ х + 8(^*2 , _ 2 ^ ! —3(^2
1 _ 22 аг ‘ г ~ 22 аг ’ Паг ’
Учитывая выражения для и будем иметь
7 ka
= §2 Т ‘
3 ka . 1 ka
3— 22 Т ‘
592. Разность потенциалов между любыми точками кольца должна
быть равной нулю, В противном случае мы придем к противоречию,
применяя закон Ома к короткому и длинному участкам кольца.
Кроме того, это очевидно и из соображений симметрии. Отсутствие
разности потенциалов означает, что электростатическое поле внутри
кольца равно нулю. Ток возникает вследствие наличия э. д. с. индукции, распределенной равномерно вдоль кольца: I = ei/r = $ t / R , где
в/ и © I—э .д .с . индукции на коротком и длинном участках кольца,
а г. и Я —соответственно сопротивления участков.
Несмотря на отсутствие разности потенциалов между точками
А я В, электрометр обнаружит разность потенциалов между стержнем и корпусом. Дело в том, что в проводниках АС и BD ток равен
нулю. Следовательно, в каждой точке этих проводников стороннее
электрическое поле индукционного происхождения уравновешивается
напряженностью электростатического поля, возникающего вследствие
перераспределения зарядов в проводниках под влиянием э. д. с. индукции. Работа электростатических сил при перемещении по замкнутому
контуру ACDBA равна нулю. На участке АВ электростатическое
поле отсутствует. При перемещении заряда по проводникам АС и
BD работа электростатических сил равна э. д. с. индукции в этих
проводниках и имеет противоположный знак. Следовательно, для
равенства нулю работы электростатических сил вдоль замкнутого
‘ контура необходимо, чтобы разность потенциалов между точками С
н D равнялась э. д. с. индукции в проводниках АС и DB и совпа

335

дала с ней по знаку. Так как э .д .с . индукции в замкнутом контуре . ACDBA равна нулю (магнитное поле не пронизывает этот
контур), то на участке АВ э. д. с. индукции равна по величине и
противоположна по знаку э. д. с. в проводниках АС и BD, если
пренебречь работой сторонних сил индукции на участке между
стержнем и корпусом электрометра по сравнению с работой в проводниках АС и BD. Поэтому электрометр покажет разность потенциалов, приблизительно равную э. д. с. на участке АВ.
593. В отличие от’задачи 592 разность потенциалов U^ — Ug
не равна нулю. Запишем’ закон Ома для всех трех участков проводника, обозначив токи на участках ADB, АК.В и АСВ через 1г,
/ 2, / з, а соответствующие э .д .с . индукции —через (§2, $з’-
I ^ l ~ h V А — U В [ В — U А [ U А — U В
1 п * 2 г> > *3 г> • А1 А 2 ч Аз
В силу сохранения заряда и условия стационарности /* = /j + / 8.
Складывая два первых уравнения, будем иметь
+ — ^ 1 + ^ 2 — $■
Вычитая первое уравнение из третьего, получим
I3R3— IiRi = S e — SiНо э. д. с. индукции в контуре ACBDA равна нулю, так как он
не пронизывается магнитным полем. Следовательно,
Si~ Ssi I3R3— / i / ? i = o .
Система уравнений дает следующее значение искомого тока:
S R
R1R2 ~f ~ RiRs~i~ R2R3
594. При отличном от нуля сопротивлении R 3 из уравнений
задачи 593 можно найти
/ SRs_ _ _ _ _ _ _ , S R3)
1 RiR2~j~R2R3“I»R1R3 * 2 RiRi-^-RzRa-^-RiRs ’
18 —■
Ч Т Л ^ З ‘
SRi
RiR2~\~ RiR3~\-R1R3
Если i?s = 0, то 11 = 0, 1г = S / R i = В общем случае
UA — V B = — SRlR*
(Ri+ R,) (R1R2+ R2R3+ RiR3) ‘
ПрИ £g = 0
R1+ R 2’
причем Ua — Uв = — £ 1 (так как на участке ADB /, = 0 ), где <§ 1—
э.д.с. индукции на участке ADB.
595. В проводниках, составляющих цепь, вследствие изменения
во времени магнитного поля возникает электрическое поле (вихре

336

вое, т. е. не электростатическое). Работа этого электрического
поля по перемещению единичного положительного заряда вдоль всей
цепи численно равна э.д.с. индукции, которую мы обозначим через
Ее можно вычислить на основании закона Фарадея, учитывая изменение магнитного потока, связанное с изменением во времени магнитной индукции. Тогда получим ■ . ‘
£ 1 = k ( S 0+ lv t).
Кроме того, при движении проводника в магнитном поле возникает
э.д.с. в результате действия силы Лоренца на заряды проводника.
Эта э.д.с. равна ………………….
£ 2 = vBl = v l(B 0-t-kt).
Полная э.д.с. действующая в цепи, равна
— k (5 о + М)-\~vl (5о~Ьkt).
$ можно получить из закона Фарадея, учитывая одновременно обе
причины ее возникновения. Тогда следует написать, что ^ = ДФ/ДЛ
где ® = (.B e-|-£< )(S + ‘i///). Так как
ДФ = [В0+ k (t + Д/)] [S, + itf (/ + Д О] — (Во + kt) (S0 + vlt) =
— — B ^ v l A t+ A S 0 & t+ 2 k vli At + k v i{ A tf,
то ‘ » ‘ f ‘ .
AO/At — B0vl-\-kS0-\-2kvtt-\-At kvl.
При At, стремящемся к нулю,
ДФ/ At = В 0vl-\-kS0-\-2kvlt.
Таким образом,
$ — к (S0-\- lvt)-j-vl (В0-\-kt) = (§i-\-$ 2’
Силу тока найдем на основании закона Ома:
. (§ _ kS0-\-2klvt-\-vlB0
~r ~ : r ‘
Ток в цепи направлен от а к 6. •
596. В обоих случаях равновесие установится, если момент сил, .
действующих со стороны магнитного поля на индукционный ток в
кольце, равен нулю или отсутствует индукционный ток. Это будет
в том случае, когда плоскость кольца располагается вдоль силовых
линий поля (индукционный ток равен нулю), либо же тогда, когда
плоскость кольца строго перпендикулярна силовым линиям (момент
сил равен нулю). В соответствии с правилом Ленца в нарастающем
магнитном поле устойчиво будет первое положение кольца, а второе
будет неустойчивым. В убывающем магнитном поле, напротив, равновесие будет устойчивым при наличии прямого угла между плоскостью кольца и силовыми линиями и неустойчивым, когда плоскость
кольца параллельна силовым линиям.
597. Так как согласно условию напряженность’магнитного поля
прямо пропорциональна времени: H = (N /l)k t, то э.д.с. самоиндукции равна
<8i = V v(№ ll)kS (S = w *).

337

в направлена против тока, Напряжение на зажимах соленоида должно
быть равно
‘ V = p 0 ( N V i ) k S + k R t . .
В этом случае / = (£/ — g i ) f R = kt.
598. При R = 0 э.д.с. самоиндукции Д о стае тся постоянной,так
как напряжение на аажимах соленоида U = t§i — S — Из решения
задачи 597 следует, что при постоянной ток изменяется пропорцйонально времени: I — kt, причем k = t///(x0S/V2. Следовательно,
I 1 . Если сопротивление конечно, а не равно нулю, ток
будет возрастать по такому же закону до тех пор, пока падение напряжения IR на сопротивлении R будет пренебрежимо мало по
сравнению с Si599. Работа батареи за время т будет равна A = £ Q , где Q —
количество электричества, прошедшего за время т по соленоиду. Ток
в соленоиде возрастает прямо пропорционально времени: / —
(ем. решение задачи 598). Поэтому Q будет равно произведению
средней силы foKa ( /н + /к)/2 ( /н= 0) на
время т, или же численно равно площади заштрихованного треугольника (см.
рис. 473):
Q*—
Отсюда работа будет равна
2fi0SN *’
Эта работа идет на увеличение энергии
магнитного поля. Мьг можем записать,
что A — W, где tt?—энергия магнитного поля. Учитывая, что
H — (N/l) I, и подставляя выражение для тока, эту энергию мы
можем представить в виде W
600. Так как сопротивление кольца равно нулю, то и суммарная
электродвижущая сила в нем всегда должна быть равна нулю. Это
может быть только в том случае, если изменение полного магнитного
потока, пронизывающего кольцо, равно нулю. Следовательно, изменение внешнего магнитного потока Ф„ равно по величине и противоположно по знаку изменению магнитного потока, созданного индукционным током: ДФ0 = £ Д /. Учитывая, что поток Фв нарастает от
О до я г%В0, а индукционный ток меняется при этом от 0 до / , получим я r2B0 = L/. Отсюда / = nr*B0/L. ,
801. Магнитный поток через кольцо не может изменяться (ем.
задачу 600). Следовательно, Ф = я г2В. Вначале этот поток создавался
внешним магнитным полем, а после его выключения — индуцированным в кольце Током.
602. Если омическим сопротивлением кольца можно пренебречь,
то полный поток магнитной индукции через кольцо не будет меняться
(ем. задачу 600). А это значит, что поле индукционных токов в

338

«кольце направлено всегда против поля электромагнита. Следовательно»
йольцо будет отталкиваться.
-603. Если по обмотке соленоида течет ток /,т о , по определению
коэффициента самоиндукция L, поток магнитной индукции Ф сквозь
соленоид равен , ■
Ф = L/. ф
Поток магнитной индукции есть
. Ф = BStf,
где В —индукция магнитного поля соленоида, S —сечение каждого
витка, /’/ — полное число витков соленоида. Как известно, индукция
магнитного поля длинного (d /0) соленоида равна
В = }*0п/,
где п —число витков на единицу длины соленоида. В условиях нашей
задачи
a/__L L 1
nd ’ п nd ‘ 10 ‘
Поток магнитной индукции Ф, следовательно, равен
ndl0 nd 4 4я /0 . {2)
Сравнивая (1) и (2), находим
l ~ tie .ll *
4п1в ‘ ,
604. tlo определению магнитный поток через соленоид равен
Q> = BSN, где В —индукция магнитного поля соленоида, S — сечение
каждого витка, N — число витков соленоида. Как известно (см. задачу 603), индукция В соленоида, по которому течет ток /, равна
В —Цо (N/1) /,гд е / —длинасоленоида. Итак, O = jx0(N2/l)S I. Поскольку в условиях данной задачи / = const, изменение магнитного потока
ДФ происходит только из-за изменения длины соленоида (его геометрии). Другими словами, поток через соленоид (Ф = LI) изменяется
из-за изменения коэффициента самоиндукции L:
Аф/ b t = A (LI)/At — I AL/At.
Сохранить ток постоянным при растяжении соленоида можно, если
изменять разность потенциалов на его концах на величину, в любой
момент равную и противоположную э.д.с. самоиндукции $ — —ДФ/At,
Вычислим ДФ/Д/. Для этого достаточно вычислить Д£/Д/:
‘ тс .„ о 1 Г 1 1 1 1 Г 1
При At, стремящемся к нулю,
‘ AL/At^iioNzSvftls-i-vt)*,

339

Соленоид растянется вдвое за время tlt которое легко определить из равенства l0-{-vt1 = 2l0, откуда t t = l0/v, и в момент АФ и * / W -0 ,0 0 4 в. ~ Д/ Д/ 411 Н а такую величину надо изменить разность потенциалов на концах соленоида. 605. U — B0nr2N a sin at. , 606. U ав = B(flr2Na>sin at, I — UAg/R = (B0nr2N a / R ) s m a t . 607. I = Banr2N a sin (at ■— ф), где 1§ф=1/о)С/?; , V АВ = [B0nr2N cos (at — ф)]/иС = [B0nr2N cos (at —ф)]/С; Ubc = B0nr2N aR sin (cof — ф). 608. 1) Так как концы А и В разомкнуты, по участку АС ток не течет. Следовательно, падение напряжения на участке АС равно нулю. Поэтому напряжение Ui = U 1. 2) В случае, когда между точками В а С приложена переменная разность потенциалов, ток, текущий по участку ВС, создает переменный магнитный поток, который наводит на участке АС э.д.с. индукции. Так как La>^> R, то амплитуда наведенной э.д.с. также будет равна t/j. Поэтому амплитуда напряжения 1/2 между точками А и В будет равна 2£/х (повышающий автотрансформатор). 609. Наиболее неудовлетворителен 3-й способ, так как токи Фуко циркулируют в плоскостях витков обмотки, не встречая в этом случае изолирующего слоя. 1-й способ позволяет избавиться от большей части вихревых токов, однако не рт всех, так как в одном слое обмотки автотрансформатора фактически имеется много витков вокруг сердечника и один виток вдоль него. Наилучшим является 2-й способ, который и применяется на практике. 610. Так как R = 0, то ток / отстает по фазе от напряжения U на я/2. Графики U = UB sinatf, / = /0 sin (at — я/2) и Мгновенной мощности W = IU изображены на рис. 474. Знак W меняется каж ­ дую четверть периода. Положительному значению W соответствует поступление энергии от источника в катушку. При отрицательном W энергия из катушки поступает обратно в источник. В среднем за период катушка не потребляет мощности; средняя мощность равна нулкУ. 611. Эффективной величиной П е р е м е н н о г о Т о к а называется величина постоянного тока, который выделяет в проводнике такое же

340

количество тепла, что и переменный, за равное с ним время. Под*
считаем количество тепла, выделившегося за период:
Q = llR T /8 + l% R T !8 = llRT/4.
С другой стороны, Q = /эфф/?7\ Отсюда / Эф ф = /0/2.
612. При прохождении по проводнику переменного тока количество выделенного тепла равно W = /эффЖ ■ Выражение же для количества выделенного тепла W = (£/|фф/R) t справедливо только тогда, когда имеет место закон Ома в обычной форме: I = U/R. У обмотки трансформатора велико индуктивное сопротивление. Поэтому
закон Ома в обычной форме и, следовательно, выражение W = (Ul^/R)t
не имеют места. Количество выделенного тепла мало, так как мала
сила тока и мало омическое сопротивление обмотки.
613. Если L a ^ R , то сдвиг фаз между током и напряжением
велик и потребляемая сетью мощность не может быть большой.
Включение конденсаторов уменьшает этот сдвиг фаз, так как ток
через конденсатор опережает напряжение, компенсируя тем самым
отставание тока по фазе в приборах с большой индуктивностью.
В результате потребляемая сетью мощность увеличивается.
614. W = { U * — U l — U \ ) 1 2 R .
615. Соленоид с числом витков N t обозначим индексом /, а соленоид с числом витков ЛЛ, —индексом 2. Индукция магнитного поля
соленоида 1 равна
B1 = N (Af1/0 /.
Это поле создает сквозь соленоид 2 магнитный поток Ф12, равный
® i2 = B^SNg — щ (NiN%fl)SI,
откуда для коэффициента взаимной индукции L12 получается выражение
(I)
Аналогично получаем .выражение для потока магнитной индукции Ф21, созданного соленоидом 2 и пронизывающего соленоид /:
= f*o (^s^i/O •
откуда для коэффициента взаимной индукции L21 получается выражение . .
^-22 = S. (2)
Из сравнения (1) и (2) находим, что L12 = L2i.
616. Скорость изменения магнитного потока постоянна, и, следовательно, постоянна э. д. с. индукции в катушке. Если катушка включена
в замкнутую цепь, то по ней будет течь постоянный ток. Как и
любой постоянный ток, он устанавливается не сразу. Время его
установления определяется коэффициентом самоиндукции катушки и
ее сопротивлением.
617. Полный поток магнитной индукции Ф, пронизывающий
сверхпроводящее кольцо, как показывает решение задачи 600, не
может измениться. Вследствие этого при сближении колец увеличение потока за счет взаимной индукции компенсируется его уменьшением в результате уменьшения тока, текущего по кольцу. При

341

большем раеейишни между кольцам* их взаимной индукцией мояаде
пренебречь, и тогда <D = L /0, где L — индуктивность кольца. Когда
проводники сблизятся вплотную, то магнитный поток через каждое
кольцо будет равен Ф = 2LI, где / —искомый ток. Следовательно,
1 — 10/2, т. е. токи в кольцах уменьшатся в два раза.
618. Допустим, что в начальный момент ток /01 в первом кольце
больше тока /02 во втором кольце. При сближении колец токи в них
будут уменьшаться (ем. задачу 617). В некоторый момент времени
тов /2 станет равным, нулю и, следовательно, станет равной нулю
сила взаимодействия колец. Однако по инерции кольца будут продолжать сближаться. Во втором кольце возникнет ток в направлении, противоположном первоначальному, а ток в первом кольце
начнет увеличиваться. При этом потоки магнитной индукции через
каждое кольцо останутся неизменными. Между кольцами возникнет
отталкивание, их движение вследствие этого начнет тормозиться.
Сблизиться вплотную кольца не смогут, так как при этом одновременно должны были бы выполняться равенства
что возможно лишь при условии /01 = /ог- Кольца »а мгновение
остановятся на некотором расстоянии друг от друга и затем начнут
расходиться. При этом будет уменьшаться ток /2 во втором кольце
до тех пор, пока не станет равным нулю. При / 2= 0 ток / j приобретет то же значение, что и при сближении колец а момент прекращения тока / 2. Далее начнется притяжение колец и т .д . Процесс
будет повторяться периодически. :
619. Напряжение на зажимах яервичной обмотки U± при пренебрежении ее омическим сопротивлением’может быть представлено
как алгебраическая сумма э.д.с. самоиндукции этой обмотки и э.д.с.
индукции, возбуждаемой в ней током, текущим во вторичной обмотке:
Знак минус возникает вследствие того, *что ток» /, и /2 имеют
противоположные фазы. Если токи меняются по законам Тх = sin &t,
/2= / 02 sin (at, то
Так как напряжение и г смещено по фазе относительно тока / х на
зт/2, то можно записать t /1 = U10 cos (at.
Разделив выражение для на Ljcocoscat, будем иметь
U есть ток холостого хода, если омическое сопротивление
обмотки не учитывать. Пренебрегая током холостого хода, найдем
1 oi/102 = M!LX. Используя выражения для коэффициентов самоиндукции и взаимной индукции, получим 7 1/ / i = / 01/ / ffg = iVf/Ar1.
620. Индукция суммарного поля внутри соленоидов равн

342

где выбор знака плюс или минус зависит от того, одинаковы яди
противоположны направления токов в соленоидах. Энергия W суммарного поля во всём объеме внутри соленоидов равна
‘ W = ^ S l ~ ^ [ ( N 1I1) * ± 2 ( N 1I1) (N 2l 2) + ( N il 2n
Воспользовавшись выражениями для индуктивностей Lj и L%
соленоидов: =ж(х0(Nl/t) S, L2 = ц0{N\jl) S и выражением для коэффициента вЗДймной индукции: можно магниТЙуЬ
анергию соленоидов представить в виде
Первый член этой формулы дает собственную энергию тока I второй—определяет собственную энергию тока 12. Наличие третьего
слагаемого показывает, что анергия двух токов в контурах, обдадающих магнитной связью, отличается от суммы собственных энергий токов на величину Wt2 —
== ± i.js ^ /2- Она называется взаимной энергией двух токов.
621. Положительные полуволны тока зарядят конденсатор до
амплитудного напряжения городской сети, равного 127 V’2 В = 180 В.
Когда диод заперт (не проводит
ток), к нему приложено напряжение сети (с амплитудой 180 В) плюс
такое же напряжение заряженного
конденсатора. Изменение потен
Пиала вдоль цепи в этот момент времени изображено на рис. 475.
Если выпрямитель работает без нагрузки, да конденсатор должен
рассчитываться на пробивное напряжение, не меньшее 180 В, а диод—
на напряжение, не меньшее 360 В.

343

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО, МАГНЕТИЗМ, Электромагнитная индукция, Переменный ток #физика

Пытливый ум — Хочу Всё Знать! Дача, огород, лайфхаки, хендмейд, знания, учёба